角 運動量 演算 子 交換 関係。 1.3 角運動量演算子の交換関係

いったいどこが引っかかるのか。 この先の議論にはまったく影響しない話であり ,あまり待たせても悪いのでとりあえずここまでで発表することにする. まぁ、別にそれでも問題ないんですが、この記事ではベクトルの各成分を添字で区別して、一般的に成分の交換関係を計算してみます。

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したがって、 が成り立ちます。

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しかし ,交換関係はこんなことを説明するためだけにあるのではない. この後で具体的な行列を作る必要があるので ,面倒だが定数 が幾つになるかを調べておかないといけない. これらの事実の証明はの項目を参照されたい。 「複数の異なる状態が同時に重なって存在しているような状態」というのは非常に奇妙に思えるかも知れないが ,別の方向から眺めれば「ある一つの値が確定した状態」になっていたりするわけだ. 交換関係を計算するときに使うと便利な公式2つの に対して、交換子 commutator は以下のように定義されます: この定義をもとに、次の公式を導いていきます:• このことから , 軸に沿って測った角運動量 も と同じように ,0 , の 3 通りの値のいずれかしか取らない事が分かる. 交換子の値が 0 であったなら ,同時に 2 つの演算子の固有関数となる関数が存在するということだが ,この場合は でもない限りは , のそれぞれの方向からの観測値は同時には決められないということであり ,それはすでに前回話した通りだ. は先ほどとは逆に固有値を 1 つずつ下げる働きを持っているというので「 下降演算子」と呼ばれる. わざわざ計算しなくても「状態が一つ上がる」のだからこういう形になることは想像がつくだろう. 交換するものだけ前に出し、前に出したものは位置=>運動量の順序、さらに アルファベット順 にすることにします。 すなわち,角運動量の2乗と角運動量の x, y, z 成分の中のどれか1つは同時に決定できる。

ではポイントに留意しながら証明していきます。 どこがエッセンスなのでしょう。 よってこの式から、交換関係がゼロでないなら同時測定が不可能であることが言えることになります。

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書くまでもないかも知れませんが です。

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それぞれのエルミート共役を取って掛け合わせてやればいいのだ. 定義を見ただけではこれが何の役に立つのかさっぱり想像も付かないが ,これらはちゃんとした意味を持っており ,その意味を見出せればこれらの演算子を行列で表すことが簡単にできるのである. 行列への変換 微分演算子と行列が論理的には等価だという話は第 2 部で出てきた. 角運動量の x 成分と y 成分の間の交換関係を調べると, 1. そのためスピンの存在は「量子力学的な内部自由度」というよくわからない言葉によってしばしば誤魔化されてしまう。

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もしかすると以上の話の流れを見て、あらかじめスピンやパウリ行列の性質を知っていたから、それと辻褄を合わせるように無理矢理ロジックを組み立てたようだと感じる人がいるかもしれない。 他の成分も同じ関係式を満たすだろう。

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